Unos números muy especiales

El gran matemático Pitágoras (500 a.C) pensaba que todos los fenómenos de la naturaleza se podían explicar mediante los números. Hace más de 2500 años fundó un grupo, los pitagóricos, cuyos miembros se dedicaban al estudio de los números y sus relaciones, y se comprometían a no revelar los secretos de sus investigaciones.

Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.

Para el momento en que los Elementos de Euclídes aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema 

Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos.

Cerca del 200 a. C. el griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado la Criba de Eratóstenes.

Ahora te invitamos a escuchar la siguiente producción de audio realizada por los autores de éste blog, estudiantes del Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional de Salta, con la colaboración de la Profesora María de la Mercedes Moya y Franco Monaldi .

De lo escuchado anteriormente podemos resumir lo siguiente:

Un número es primo si sus únicos divisores son el mismo número y 1.

Los números que poseen más divisores reciben el nombre de números compuestos.

 El 0 y el 1 no son considerados ni primos ni compuestos.

Ahora te proponemos que pongas en juego los conocimientos que se trabajaron en la radio realizando las actividades que te proponemos a continuación:

Visita el siguiente Link:  EVALUACIÓN

Esperamos  que te haya gustado, leeremos tus comentarios y responderemos a todas tus consultas.

Thales y su teorema

Thales de Mileto fue filósofo y matemático griego, quien en su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Se lo conoce también por ser el maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro.

Dentro de la geometría, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de los conocimientos adquiridos en Egipto. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Thales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.

Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros días; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo largo de la historia.

Hoy en día hay un teorema que lleva su nombre y se expresa de la siguiente manera:
Teorema de Thales: Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de dos segmentos correspondientes en una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes en la otra.

De esta manera uno puede encontrar otras proporciones más, que derivan de la anterior. Es así que el teorema es aplicado a triángulos muchas veces, en forma de corolario.
¿Quién puede nombrarnos otras proporciones de segmentos que se cumplen gracias al teorema?

Teorema de Thales

Un ejemplo simple para trabajar


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


En esta primera instancia, te proponemos que muevas los puntos en azul para ver como varían las posiciones de las rectas y las longitudes de los segmentos, y que con una calculadora compruebes si se cumple el teorema o no, para las posiciones que tomen las rectas en cada momento.
Dani, Mario y Marcos, Creación realizada con GeoGebra

Un pequeño resumen de una gran ciencia...

La aritmética es una de las ciencias más antiguas, si ya no lo es. Ella ha originado en la historia del hombre grandes cambios y aportes, que aunque hoy en día no parezcan así, por parecer conceptos obvios a los ojos de uno. Esta ciencia, esconde misterios y conocimientos que esperan ser descubiertos, haber si algunos de nosotros pasa a la historia, realizando un nuevo aporte aritmético, quedando encuadrado con personajes tan celebres, como los que muestra el siguiente vídeo. 

Este vídeo muestra un resumen de algunos de los aspectos más importantes de la aritmética, esperamos que les guste.

Si alguno quisiera saber más, nos manda un comentario y con mucho gusto responderemos.

Para saber un poco más… POLÍGONOS

En los objetos que vemos a nuestro alrededor, podemos identificar formas y características particulares.

Aprenderemos a continuación Polígonos.

Para Recordar: La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego; polys (muchos) y gono (lado).

¿Qué es una Poligonal?

Una poligonal está formada por segmentos consecutivos. Si los extremos del primero y del último coinciden; la poligonal es cerrada; sino es una poligonal abierta. Por ejemplo:

ABCDEFG es una poligonal abierta. Mientras que ABDCA es una poligonal cerrada

Polígono … Se llama polígono a la unión de una poligonal cerrada y la región del plano que ella encierra.

Para encerrar una porción del plano es necesario, como mínimo, tres segmentos, por lo cual el polígono de menor número de lados es el triángulo.

Los polígonos pueden ser convexos o cóncavos.



Polígono Convexo



Polígono convexo: Un polígono es convexo si cualquier segmento determinado por un par de puntos de él está incluido en el polígono.

.



 





Polígono Cóncavo



Polígono cóncavo: Un polígono es cóncavo si existe al menos un segmento determinado por un par de puntos de él que no está incluido en el polígono





Elementos de un polígono

Lados: son los segmentos que forman la poligonal cerrada

Vértices: son los puntos de intersección de dos lados consecutivos.

Ángulos interiores: son los ángulos convexos formados por los pares de lados consecutivos.

Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los interiores.

Diagonales: son los segmentos cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.



Clasificación de los polígonos

Atendiendo al número de lados, los polígonos.se clasifican de la siguiente manera:

Ø  Polígono de tres lados: triángulo:

Ø  Polígono de cuatro lados: cuadrilátero:

Ø  Polígono de cinco lados: pentágono;

Ø  Polígono de seis lados: hexágono;

Ø  Polígono de siete lados: heptágono;

Ø  Polígono de ocho lados: octógono;

Ø  Polígono de nueve lados: eneágono;

Ø  Polígono de diez lados; decágono;

Ø  Polígono de once lados: undecágono;

Ø  Polígono de doce lados: dodecágono;

Ø  Polígono de quince lados: pentadecàgono;

Ø  Polígono de veinte lados: icoságono.



Los polígonos de n lados se llaman por la cantidad de lados. Así, el polígono de 22 lados se llama “polígono de veintidós lados”.



Polígono regular: Un polígono convexo se llama regular cuando sus lados y sus ángulos son congruentes



Poligonos Regulares

Ahora te propongo la siguiente actividad:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Mueve el punto a y mira cómo se generan los diferentes polígonos regulares de a lados.

Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

Combinando diferentes polígonos se pueden obtener bellas construcciones geométricas que resultan adecuadas para recubrir superficies:

Teorema de la división de números naturales

Cuando dividimos números naturales, se nos viene a la cabeza por ejemplo la idea de repartir, esta idea no es errónea. La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo) y puede considerarse también como una resta repetida.

Veamos un ejemplo sencillo:

Luciano quiere repartir a sus amigos unas bolillas que posee de manera equitativa, él tiene una cantidad a  de bolillas y una cantidad b de amigos. Lo que hará Luciano en primer lugar es ver si hay suficientes bolillas para dar al menos una a cada amigo, que en términos matemáticos significa comprobar si a>b o a=b.

§      Si a<b, entonces Luciano no tendrá suficientes bolillas para repartir, por lo que ningún amigo recibirá bolillas y en consecuencia le quedarán a bolillas.

§      Sino, Luciano dará una bolilla a cada amigo, con lo cual le sobrarán a-b bolillas, después de ello volverá a ver si hay suficientes bolillas para hacer una nueva distribución, comparando si a-b<b.

§      Si a-b<b, se termina todo, en caso contrario Luciano procederá a repartir una bolilla más para cada amigo, con lo que cada amigo tendrá 2 bolillas, quedándole a-2b bolillas.

§      Si a-2b<b, Luciano no podrá repartir más bolillas, pero en caso contrario seguirá el proceso…

§      Es normal que Luciano seguirá repartiendo bolillas hasta que ya no pueda hacerlo, en ese momento habrá repartido c bolillas a cada amigo y le quedarán r bolillas, donde r tendrá la forma a-cb.

§      Resumiendo lo anterior tenemos que Luciano habrá repartido c bolillas a cada amigo y las bolillas que le sobrarán son r, donde r=a-cb, que es lo mismo decir a=cb+r, donde como ya vimos r<b.

Todo lo expuesto está contemplado en un gran teorema llamado “Teorema de la división de números naturales” que se expresa de la siguiente manera:

Teorema de la división de números naturales: Sean a y b dos números naturales, con b distinto de cero. Entonces existe un único par de números naturales c y r, tales que a=cb+r, con r<b.

A los números c y r se los denominan cociente y resto respectivamente de la división entre a y b; y los vamos a denotar c(a,b) y r(a,b).

 

Este teorema no es para nada trivial, pues de él se desprenden una gran cantidad de propiedades de los números naturales, que se pueden generalizar a los números enteros.

Una primera consideración importante del teorema es que al dividir un número natural por otro distinto de cero, nos asegura la existencia de dos números llamados cociente y resto; y que tales números son únicos!!!

Veamos algunos ejemplos:

§        c(7,5)=1 y r(7,5)=2 pues 7=1^.5+2 , con 2<5

§        c(14,2)=7 y r(14,2)=0 pues 14=7^.2+0 , con 0<2

§        c(3,9)=0 y r(3,9)=3 pues 3=0^.9+3 , con 3<9

§        c(0,6)=0 y r(0,6)=0 pues 0=0^.6+0, con 0<6

Algunas ideas sobre la tecnología

En los siguientes diapositivas, encontrarás algunos conceptos básicos sobre Tecnología, y sus implicancias en la enseñanza.

Angulos en la Circunferencia

Un descubrimiento muy antiguo...Te propongo que realices la siguiente construcción:

• Traza un circunferencia de centro O y radio r (cualquiera).

• Traza un diámetro cualquiera en la circunferencia. Nombra A y B a los extremos de dicho diámetro.
• Marcar un punto C de la circunferencia, distinto de A y B, y traza el diámetro que contenga a C, llama D al otro extremo de dicho diámetro.
• Traza los segmentos que une A y B, D y B, B y C, y C y A.
¿Qué figura obtienes?

Tales de Mileto, en el siglo VI a.C. fue el primero en observar el siguiente hecho importante, que si trazamos dos diámetros distintos de una circunferencia, entonces los extremos de dichos diámetros son los vértices de un rectángulo.

¿Cómo podemos probar esto último?
Una pequeña ayuda: si consideras la mitad del cuadrilatero anterior, la figura que se obtiene es un triángulo rectángulo, lo cual implica que el cuadrilatero es un rectángulo, puedes ahora probarlo..., ademas debes considerar las propiedades de la circunferencia como lugar geométrico y la clasificacion de los triángulos anteriormente vista.
He aquí, un esquema que te puede ayudar a convencerte de lo que debes probar:

Arco Capaz de un recto

La cuerda BD, es un diametro de la circunferencia y E es un punto de la circunferencia, distinto de B y D, entonces el angulo determinado α=BED, es recto.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Deslice r para modificar el radio de la circunferencia y el punto B o E, para modificar el triángulo.

Mario, Creación realizada con GeoGebra

Ahora miremos ...Triangulos

En esta presentación podrás  observar  la  definición y la  clasificación  de los

Triángulos

View more presentations from unsaexactas2010.

Pitágoras.. demostró algún teorema?

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. Su credo fue “todo es armonía y numero”. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. 
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados”.

Una demostracion del Teorema de Pitagoras

Te presentamos una demostracion gráfica y sencilla del Teorema de Pitágoras,¿ te animas a plantear otra?

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Deslice el punto l, para modificar el tamaño del cuadrado.

marito, marcos y dani, Creación realizada con GeoGebra

MATEMÁTICAS ... ¿CIENCIA?

Desde la más remota antigüedad el concepto de Matemáticas se identificó con el de «ciencia de los números y de las figuras».

Aunque esta definición está hoy superada, sigue siendo perfectamente representativa en cuanto al contenido primario de dicha ciencia. Por otra parte, las Matemáticas pueden ser consideradas como la forma más antigua del pensamiento científico, tanto dentro de la cultura occidental como en otras civilizaciones alejadas de aquélla en el espacio (por ejemplo, la cultura azteca) y en el tiempo (Egipto, China). Ninguna otra disciplina posee, como las Matemáticas, en un grado tan profundo y preciso el factor de la abstracción, entendida ésta como actividad intelectual que consiste en considerar aisladamente un aspecto de la realidad o un fenómeno en sus estrictas dimensiones y cualidades, aislándolo del todo; todo ello con la finalidad de poder conocerlo mejor. Esta característica ha permitido el desarrollo de las Matemáticas en dos planos diferenciados: uno como ciencia en sí misma y otro, quizás el más importante, como ciencia auxiliar fundamental de otras disciplinas. Así ocurre en su relación, por ejemplo, con la física, la química, la biología y otras tantas.

Como ciencia en sí misma, las Matemáticas son un excepcional ejercicio para el desarrollo de la mente y de la capacidad intelectual; una «gimnasia del cerebro», como acostumbraba a definirla Bertrand Russell, uno de los principales científicos que trabajaron en su modernización. De ahí su importancia, en los estudios de formación primaria y media, como instrumento para orientar las mentalidades jóvenes hacia el campo de la ciencia y el razonamiento preciso.

La división primordial de las Matemáticas pasa, como señaló un día G. F. Cantor, por el «campo de los números y sus infinitas combinaciones» y por el «campo de la representación de las figuras, ya sea en el plano o bien en el espacio». Este es, pues, el punto de partida para penetrar en el complejo y sugerente mundo de las Matemáticas.