Teorema de la división de números naturales

Cuando dividimos números naturales, se nos viene a la cabeza por ejemplo la idea de repartir, esta idea no es errónea. La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo) y puede considerarse también como una resta repetida.

Veamos un ejemplo sencillo:

Luciano quiere repartir a sus amigos unas bolillas que posee de manera equitativa, él tiene una cantidad a  de bolillas y una cantidad b de amigos. Lo que hará Luciano en primer lugar es ver si hay suficientes bolillas para dar al menos una a cada amigo, que en términos matemáticos significa comprobar si a>b o a=b.

§      Si a<b, entonces Luciano no tendrá suficientes bolillas para repartir, por lo que ningún amigo recibirá bolillas y en consecuencia le quedarán a bolillas.

§      Sino, Luciano dará una bolilla a cada amigo, con lo cual le sobrarán a-b bolillas, después de ello volverá a ver si hay suficientes bolillas para hacer una nueva distribución, comparando si a-b<b.

§      Si a-b<b, se termina todo, en caso contrario Luciano procederá a repartir una bolilla más para cada amigo, con lo que cada amigo tendrá 2 bolillas, quedándole a-2b bolillas.

§      Si a-2b<b, Luciano no podrá repartir más bolillas, pero en caso contrario seguirá el proceso…

§      Es normal que Luciano seguirá repartiendo bolillas hasta que ya no pueda hacerlo, en ese momento habrá repartido c bolillas a cada amigo y le quedarán r bolillas, donde r tendrá la forma a-cb.

§      Resumiendo lo anterior tenemos que Luciano habrá repartido c bolillas a cada amigo y las bolillas que le sobrarán son r, donde r=a-cb, que es lo mismo decir a=cb+r, donde como ya vimos r<b.

Todo lo expuesto está contemplado en un gran teorema llamado “Teorema de la división de números naturales” que se expresa de la siguiente manera:

Teorema de la división de números naturales: Sean a y b dos números naturales, con b distinto de cero. Entonces existe un único par de números naturales c y r, tales que a=cb+r, con r<b.

A los números c y r se los denominan cociente y resto respectivamente de la división entre a y b; y los vamos a denotar c(a,b) y r(a,b).

 

Este teorema no es para nada trivial, pues de él se desprenden una gran cantidad de propiedades de los números naturales, que se pueden generalizar a los números enteros.

Una primera consideración importante del teorema es que al dividir un número natural por otro distinto de cero, nos asegura la existencia de dos números llamados cociente y resto; y que tales números son únicos!!!

Veamos algunos ejemplos:

§        c(7,5)=1 y r(7,5)=2 pues 7=1^.5+2 , con 2<5

§        c(14,2)=7 y r(14,2)=0 pues 14=7^.2+0 , con 0<2

§        c(3,9)=0 y r(3,9)=3 pues 3=0^.9+3 , con 3<9

§        c(0,6)=0 y r(0,6)=0 pues 0=0^.6+0, con 0<6